原文章标题：怎样用动量矩参照系测算潮汛相对高度？《张朝阳的物理课》再探潮汐现象
怎样用动量矩参照系测算潮汛相对高度？吸引力势与勒让德代数式有什么关联？11月11日、11月13日12时，《张朝阳的物理课》第一百期、一百零一期播出，搜狐网创办人、董事长兼CEO张朝阳坐阵搜狐视频直播间，先备考二体健身运动化作单个健身运动的一个过程，获得相对性运动方程并算出地月自转角速度，接着选择与地球中心共动动量矩参照系，并强调动量矩参照系里的惯性力矩场是匀超强力场后求取惯性力势。除此之外，他也将月球引力势用勒让德多项式展开，并保存到二次项。进一步考虑到地球的引力势，依据海面表层这是所有势场的等势面这一特性，算出潮汛相对高度。
将二体健身运动化作单个健身运动
潮汐力一般是由星体间的万有引力定律所引起的，首先来科学研究地球和月球运动。设地球上质量为m1，位置矢量为r1，而月球表面质量为m2，位置矢量为r2。那样由牛顿第二定律及其万有引力公式可以获得地球的运动方程式：
其中e_r则由月球表面核心偏向地球中心的部门矢量素材，r是地球与月球的相对距离。
同样月球表面的运动方程为：
将地球上运动方程与月球运动方程式求和获得：
而地月系统的形心部位r_cm为：
依据前边地月运动方程求和得到的结果可获得系统软件形心运动方程：
这表明地月系统的形心原地不动或进行匀速直线运动。（事实上，充分考虑太阳的引力，地月系统形心实际上在做加速运动，但是之前课程内容已通过测算证实过，在求地月绕转角速度时，太阳的引力效用可忽略。）
形心只有叙述全部系统软件位置，却无法叙述系统软件内部位置关系。而地球上相较于系统软件质心的位置是：
在其中矢量素材r=r1-r2是地球上相较于月球表面位置，它方位与用人单位矢量素材e_r的方向一致，它尺寸为地球与月球的相对距离r。
将上式两侧同乘以m1后，时间观念求二阶导数，同时结合地球的运动方程式及其形心的运动方程可获得：
若进一步界定约化质量为：
那样以上有关地月位置关系r的方程式能够解方程为：
在其中M=m1 m2是地月系统的总重量。
这种方程式便是标准化的两质点系受万有引力定律的运动方程，在其中品质为μ的质点系遭受品质为M且部位固定质点系的吸引力而健身运动。
求得以上方程式，获得矢量素材r的结合，即是轨迹。之前就已经研究过此方程式，而且获得了方程式的多种多样解，由于地球与月球运动类似为匀速圆周运动，这儿只留匀速圆周运动这一突发情况，设匀速圆周运动的半经为r=a，对应的角速度为ω，那样品质为μ的等效电路质点系的加速度大小为d^2r/dt^2=ω^2a，加速度方向偏向圆心点，即-e_r方向，那样由以上相对性运动方程可获得角速度ω^2满足表达式：
解患上地球上相较于月球表面的运动之后，过度来说地球的位置矢量素材r1。为了更好地探讨，先选择系统软件形心为参照系的起点，即r_cm=0，那样依据形心的概念及矢量素材r的界定有：
地球的运动矢量素材r1与相对速度矢量素材r只相距一个比例系数。因为已经知道矢量素材r做的都是半经为a角速度为ω的匀速圆周运动，故地球的运动都是角速度为ω的匀速圆周运动，但对应的地球的运动半经为r1=[m2/(m1 m2)]a=(m2/M)a，因此地球中心的速度为ω^2r1，且加速度的方位偏向月球表面核心。
用勒让德代数式表明吸引力势 选择动量矩参照系求惯性力势
为了能更为简单明了地测算潮汐效应，选择一独特动量矩参照系，促使地球上定位点（即地球上形心部位）在这个参照系下维持静止不动。 因为地球与月球相较于质心系做角速度为ω的匀速圆周运动，并且这个动量矩参照系相较于惯性系（地月系统形心）具备ω^2r1的瞬时速度，方位从地球中心偏向月球表面，这是一个非惯性系，参照系中的点也会受到惯性力矩。
在谈惯性力矩场相对应的惯性力势以前，先剖析在这里参照系中月球表面重力场相对应的势场Φm。
创建以上图所示的平面坐标，将地球中心当选起点，取通过地球上与月儿中心轴为z轴，从地球中心偏向月球表面核心方向为z轴正方向，位矢r的尺寸为r，位矢与z轴的交角为θ，后边要考虑的全部势场都有关z轴旋转对称，所以在这里的球坐标系只需位矢大小r与交角θ。依据引力场F与势场Φ之间的关系F=-▽Φ及其万有引力公式，得知月球表面势场Φm为：
其中l为场点与月球表面之间的距离。设月球表面相较于地球的位置矢量素材为矢量a，地月间的距离为a，那样依据矢量素材的运算法则可获得l与位矢r的关联为：
因为势场Φm与l反比，因此需要考验的是1/l的特性：
由于以后只关注地表里的潜能，所以r等于地球半径，远远小于地月距离a，那样上式可以按r/a类似进行。这时候必须使用到如下所示函数f(x)的泰勒展开式公式计算：
令函数f(x)里的主要参数x=r/a，b=-2cosθ后能获得1/l依照r/a的泰勒展开式，而且要求的是进行保存到r/a的二次项：
留意到前三阶勒让德代数式为：
即在保持到r/a的二次项后的1/l还能够写出：
从这一关系式已经能够显著发觉用勒让德代数式表述1/l时需显现出规律，实际上能够严格证明，如不只留到r/a的二次项，反而是依照r/a进行到无限阶后1/l可写出：
从另一个角度来说，也可以解读为1/l依照勒让德多项式展开，类似氢原子波函数可以按照动能本征态进行那般，在这儿(1/a)(r/a)^n乃是做为依照勒让德多项式展开的指数。前边也跟你说了，因为r/a不大，在之后的测算中，只留进行里的常数项、线形项及其二次项就够了。
（张朝阳剖析月球引力势与勒让德代数式之间的关系）
剖析完月球的引力势后，下面科学研究惯性力矩场相对应的势场。前边也跟你说了，动量矩参照系具备顺着z方向（地核偏向月心）尺寸为ω^2r1的瞬时速度，那样参照系中惯性力矩方位顺着z的反向，惯性力矩对物件所产生的瞬时速度为ω^2r1，即惯性力矩场尺寸为ω^2r1 。留意这儿选择是指动量矩参照系，因此在质心系下看，该动量矩参照系中每一点运动瞬时速度、速率都同样，因此动量矩参照系中每点惯性力矩场方位与尺寸都一致，因此惯性力矩场Fc是匀超强力场：
其中e_z为顺着z轴正方向的部门矢量素材。
依据引力场与势相互关系F=-▽Φ得知，该匀强惯性力矩场Fc相对应的惯性力势为：
除开直接在直角坐标系或柱坐标系上直接看得出惯性力势的关系式以外，也可以在上边创建好一点的球坐标系下认证：
能够得知惯性力势Φc确实能得出顺着z轴反向的匀强惯性力矩场。
依据上一小节求出角速度ω满足关联ω^2=GM/a^3，及其r1与r的关联r1=(m2/M)a可将惯性力势Φc进一步写为：
在其中最后一个等于号运用了座标间的变换关联z=rcosθ 。
这一惯性力势与张朝阳第一次科学研究潮汛所使用的离心式势各有不同，那时候所使用的参照系是产生潮汐锁定时的地球所属的旋转参照系，以后的测算就会发现，这儿所使用的动量矩参照系更可以直接凸显出潮汐效应，不容易像以前旋转参照系那般诱发出一个与潮汛不相干的转动效用。
（张朝阳探讨动量矩参照系与旋转参照系的差别）
将二种潜能的数值归纳，在伴随着地球中心动量矩的参照系种，地球上附近月球引力势与惯性力势总和为：
留意到最后一个等号计算步骤中，月球引力势的线形项与惯性力势相相抵了，主要是因为，为了能让地球上形心在非惯性系中始终保持静止不动，融合圆球吸引力能够等效电路应用于圆心这一特点，这就需要惯性力矩场与地球中心（即地球上形心）所受到的重力场相相抵，而月球引力势的线形项相对应的引力场恰好是地球中心所受到的月球表面重力场。
高次项表示是，因为偏移地球中心而造成的月球引力的变化，这便是潮汐力的源头。 由于引力场是由对势场求梯度方向所得到的，因此势场的常标值在求梯度方向之后将对引力场无奉献，势场的零点选择具备任意性，相距一个常量的势场可以获得同样的引力场，所以在这里可以忽略不计上式里的常数项-Gm2/a而获得更为紧密的关系式：
（张朝阳表述吸引力势线形项与惯性力势相消的基本原理）
考虑到地心引力势测算潮汛相对高度
针对像水这种液体，假如其表层的力有垂直于其表层分量，那样水便会流动性，不可以维持静止不动稳定。因此，在一个势场里的水，假如做到静止不动，它表层所受到的极是垂直在其表层的，因为极是负的潜能梯度方向，这表明水表层便是势场的等势面。
地球上海面感觉到的势场不单单是以前测算完的惯性力势和月球引力势，也包含了地球上自身的吸引力势。假定地球上的固体一部分绝对完美圆球，并忽视表层海面自已的吸引力效用（地球上平均密度是水密度的5.5倍），那样在相关球坐标系中地球的引力势可表达为：
因为海面表层为总势场Φt的等势面，总势场Φt在海面表面为一个常量：
即顺着海面表层，地心引力势的改变与其他势的改变达到表达式：
为了能公式的简约，选择某一视角θ_0达到：
那样月球吸引力势与惯性力势之与在视角θ_0时为零：
那样顺着海面表层，地心引力势相较于视角θ_0处转变为：
建在在视角θ_0处海面表层到地核间距为R，而随意θ处到地核间距为R h，即h为两个的海平面高低差，因为地球上固体部分为极致圆球，因此h都是海面深层差值。测算相对应的地心引力势的改变，并只留h最低阶项为：
其中g=Gm1/R^2是地球表面重力加速，此外，因为h远远小于R，第二个等于号依照h/R进行到一阶。以后也会考虑以更精准的方式求高低差。
综合性各势场的公式后，可获得海面高低差h类似满足公式计算为：
因为r=R h中R远大于h，因此可以令上式r=R，这等额的于依照h/R进行并保存到最少阶项，然后将g=Gm1/R^2带入上式，并进行梳理获得海面高低差h与座标θ之间的关系：
这和之前用地球上锁住旋转参照系算出得到的结果一致。从h的关系式能够得知，当θ=0和θ=π时，h获得最高值，这表明在z轴里的海面相对高度最大，但当θ=π/2情况下，这时海面相对高度最少。地球上若顺着垂直在月球自转平面轴转动下去，地球赤道的人就会依次通过海面相对高度最高值点θ=0，π和极小值点θ=π/2，它会发觉海面相对高度在h的最高值与h的极小值中间转变，这便是潮汐现象。
为了能测算潮汛相对高度，将实际变量值代入h的关系式中，能够求取h的极值为0.36 m，而h的极小值为-0.18 m，潮汛相对高度便是最大值减掉极小值为0.54m，其实就是在赤道上随地球的自转的观测者所所看到的海面极高的较大转变值。
值得一提的是，在这节视频课堂的潮汛测算中，假定了地球上固体一部分绝对完美球型，因此潮汛相对高度便是海面表面的高低差，而且这时地心引力势是简单随r反比的势场。可事实上即便是地球上的固体一部分也可能因为潮汐力而出现弯曲，那样还要将海面表面的高低差减掉固体部分高低差，才会得到潮汛高度。此外，测算海面表面的高低差所使用的地心引力势已不再是简单的随r反比的势，详情敬请见下回分解。
据统计，《张朝阳的物理课》于每星期周五、周日下午12在搜狐视频直播，网民还可以在搜狐视频下载“关心流”中检索“张朝阳”，看直播及以往详细录像回放；关心“张朝阳的物理教学”账户，查询课堂中的“知识要点”小视频。除此之外，也可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账户上，浏览每一期物理课程的具体文章内容。返回搜狐，点击查看
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